Bruchungleichungen lösen: Erklärung und Beispiele

Lösen einer Bruchungleichung

$\frac{x+2}{x-5} > 0$

Das Ergebnis des Bruchterms muss laut der Ungleichung größer als $0$ sein. Bevor wir nun damit beginnen die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen zu lösen, müssen wir uns zunächst überlegen, unter welchen Bedingungen das Ergebnis des Bruchterms größer als null ist.

1. Fall: Zähler und Nenner sind größer als $0$

Sind Zähler und Nenner beide positiv, so ist auch das Ergebnis des Bruchterms positiv. Mathematisch bedeutet das folgendes:

$x+2 > 0~~~~~$und$~~~~~x-5 > 0$

Wir erhalten also je eine lineare Ungleichung für den Zähler und den Nenner. Lösen wir diese Ungleichungen weiter auf, erhalten wir:

$x+2 > 0~~~ \leftrightarrow ~~~x > - 2$

$x-5 > 0 ~~~\leftrightarrow ~~~x > 5$

Die Variable $x$ muss also größer als $-2$ und größer als $5$ sein. Diese Bedingung erfüllen alle Zahlen, die größer als $5$ sind. Zahlen, die größer als $-2$, aber kleiner als $5$ sind, zählen nicht zur Lösung.

$x > 5$

Dieses Ergebnis ist jedoch nur ein Teil der Lösung. Das Ergebnis des Bruchterms ist nämlich auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches negativ ist. Zum Lösen der Bruchungleichung müssen wir also noch einen weiteren Fall betrachten.

2. Fall: Zähler und Nenner sind kleiner als $0$

Das Ergebnis des Bruchterms ist auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchterms negativ ist. (Du erinnerst dich bestimmt daran, dass die Division zweier negativer Zahlen zu einem positiven Ergebnis führt.)

Zähler und Nenner werden wieder in zwei unterschiedlichen Ungleichungen betrachtet:

$x+2 < 0~~~ \leftrightarrow ~~~x < - 2$

$x-5 < 0~~~ \leftrightarrow ~~~x < 5$

Die Variable $x$ muss kleiner als $-2$ und kleiner als $5$ sein. Auch diese Aussage schließt die Zahlen zwischen $-2$ und $5$ aus.

$x < -2 $

Tragen wir beide Ergebnisse für $x$ zusammen, erhalten wir folgende Lösungsmenge:

$\mathbb{L} = \{x<-2; x>5 \}$

Die Variable $x$ muss entweder kleiner als $-2$ oder größer als $5$ sein.

Die Variable $x$ darf laut Definitionsmenge den Wert $5$ nicht annehmen. Da dieser Wert in der Lösungsmenge nicht enthalten ist, ist die Bruchungleichung richtig gelöst.

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!