Kathetensatz des Euklid - Was ist das?

Beweis des Kathetensatzes

Durch das Einzeichnen der Höhe erhalten wir insgesamt drei Dreiecke: Ein Dreieck mit den Seitenlängen $a, b, c$, ein weiteres Dreieck mit den Seitenlängen $h, p, a$ und ein drittes Dreieck mit den Seitenlängen $h, b, q$.

Dreieck mit Höhe

Jedes dieser Dreiecke ist rechtwinklig und daher können wir jeweils den Satz des Pythagoras anwenden:

• $a^2 + b^2 = c^2$

• $h^2 + p^2 = a^2$

• $h^2 + q^2 = b^2$

Außerdem können wir eine weitere Beziehung aufstellen:

• $q + p = c$

Für den Beweis benötigt man außerdem den Höhensatz des Euklid:

• $h^2 = p \cdot q$

Beweis: $b^2 = q \cdot  c$

Wir starten mit der Formel für $b^2$:

$b^2 = q^2 + h^2$

Im ersten Schritt ersetzen wir $h^2$ entsprechend dem Höhensatz durch $p \cdot q$.

$b^2 = q^2 + (p \cdot q)$

Die Potenz $q^2$ können wir ausschreiben und erhalten:

$b^2 = (q \cdot q) + (p\cdot q)~~~~~|q~ausklammern$

$b^2 = q \cdot (q + p)$

Für den Klammerterm $(q + p)$ können wir nach der obigen Formel auch $c$ einsetzen.

So erhalten wir den uns bekannten Kathetensatz:

$b^2 = q \cdot c$

Beweis: $a^2 = p \cdot c$

Der Beweis ist analog zu der obigen Rechnung, mit dem Unterschied, dass wir mit der Formel für $a^2$ starten:

$a^2 = p^2 + h^2~~~~~|Höhensatz~anwenden:~h^2 = p \cdot q$

$a^2 = p^2 + (p\cdot q)$

$a^2 = (p \cdot p) + (p\cdot q)~~~~~|p~ausklammern$

$a^2 = p \cdot (p + q)~~~~~|c= p + q$

$a^2 = p \cdot c$

Beispielaufgabe

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Längen gegeben: $c =5~cm$ und $p = 2~cm$. Wir sollen die fehlenden Längen $a$ und $b$ berechnen.

Um die gesuchten Seiten mithilfe des Kathetensatzes berechnen zu können, müssen $p$, $q$ und $c$ bekannt sein:

• $b^2 = q \cdot c$

• $a^2 = p \cdot c$

Da $p$ und $c$ schon in der Aufgabenstellung gegeben sind, können wir $a$ direkt berechnen:

$a^2 = p \cdot c = 2~cm \cdot 5~cm = 10~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$

$a = \sqrt[]{10~cm^2}$

$a \approx 3,16~cm$

Nun fehlt uns noch die Seite $b$. Um diese Seitenlänge zu berechnen, benötigen wir die Seite $q$.

$c = p + q ~ \leftrightarrow ~ q = c - p ~ \leftrightarrow ~ q = 5~cm - 2~cm = 3~cm$

Jetzt kennen wir $q$ und können $b$ mithilfe des Kathetensatzes berechnen:

$b^2 = q \cdot c = 3~cm \cdot 5~cm = 15~cm^2~~~~~|\sqrt[]{}$

$b = \sqrt[]{15~cm^2}$

$b \approx 3,87~cm$

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