Ein lineares Gleichungssystem, auch LGS genannt, besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen. Um lineare Gleichungssysteme zu lösen, können wir neben den rechnerischen Verfahren (Addition, Einsetzen und Gleichsetzen) auch eine zeichnerische Methode benutzen.
Merke
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei linearen Gleichungen.
Gleichungssystem bedeutet, dass die Gleichungen zusammen gehören - sie müssen gleichzeitig erfüllt sein. Das heißt, dass der Wert einer Variablen für beide Gleichungen gelten muss.
Um lineare Gleichungssysteme zeichnerisch zu lösen, gehen wir folgendermaßen vor:
Methode
Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen
1. Gleichungen des Gleichungssystems in die Normalform ($y = m \cdot x + n$) umformen.
2. y- Achsenabschnitte der Geraden ablesen (n-Wert).
3. Je Gerade einen weiteren Punkt durch Einsetzen eines beliebigen x-Wertes berechnen.
4. Geraden mithilfe der gegebenen Punkte zeichnen.
5. Wenn vorhanden, Schnittpunkt ablesen.
Wie beim rechnerischen Lösen von linearen Gleichungssystemen, unterscheiden wir auch hier drei unterschiedliche Fälle:
- Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
- Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
- Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Gleichungssysteme mit einer Lösung
Betrachten wir folgendes Gleichungssystem:
$I: \textcolor{blue}{y= 2\cdot x -3}$
$II:\textcolor{red}{y= - x + 6}$
Die Gleichungen des Gleichungssystems befinden sich schon in der Normalform und wir können direkt jeweils zwei Punkte bestimmen, um die Geraden zu zeichnen.
Lineare Gerade I: Der y-Achsenabschnitt der ersten Gerade liegt bei $\textcolor{blue}{P_1(0|-3)}$. Einen zweiten Punkt erhalten wir, indem wir einen beliebigen x-Wert einsetzen. Wir nehmen beispielsweise den Wert $x = 2$:
$y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$
Unser zweiter Punkt lautet demnach $\textcolor{blue}{Q_1(2|1)}$
Lineare Gerade II: Der y-Achsenabschnitt der zweiten Gerade liegt bei $\textcolor{red}{P_2(0|6)}$. Für den zweiten Punkt setzen wir den Wert $x = 5$ ein und erhalten $\textcolor{red}{Q_2(5|1)}$.
Wir bekommen für die beiden Gleichungen also folgende Punkte, die wir einzeichnen und zu Geraden verbinden können.
$\textcolor{blue}{P_1(0|-3)}~;~\textcolor{blue}{Q_1(2|1)}~;~\textcolor{red}{P_2(0|6)}~;~\textcolor{red}{Q_2(5|1)}$
Merke
Der Schnittpunkt der Geraden entspricht der Lösung des Gleichungssystems.
Das Gleichungssystem besitzt eine Lösung, weil sich die Geraden in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt können wir ablesen und erhalten die Lösung des Gleichungssystems: $\textcolor{green}{S(3|3)} \rightarrow x =3; y=3$
Am Ende sollten wir unser Ergebnis noch prüfen, indem wir den x- und y-Wert der Lösung in die Gleichungen einsetzen.
$I: 3 = 2\cdot 3 -3 \leftrightarrow 3 = 3~~~~\textcolor{green}{WAHR}$
$II: 3 = - 3 + 6 \leftrightarrow 3 = 3~~~~\textcolor{green}{WAHR}$
Beide Gleichungen ergeben einen wahren Ausdruck. Unser Ergebnis ist also richtig!
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Gleichungssysteme ohne Lösung
Merke
Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Geraden keine Schnittpunkte besitzen.
Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:
$I: \textcolor{blue}{y= 0,5\cdot x + 2}$
$II:\textcolor{red}{y= 0,5 \cdot x - 1}$
Wir gehen zunächst genauso vor wie im obigen Beispiel und bestimmen jeweils den y-Achsenabschnitt und einen weiteren Punkt, um die Geraden zeichnen zu können. Wir erhalten folgende Punkte:
$I:\textcolor{blue}{P_1(0|2)}~;~\textcolor{blue}{Q_1(2|3)}$
$II: \textcolor{red}{P_2(0|-1)}~;~\textcolor{red}{Q_2(1|-0,5)}$
Zeichnen wir die Geraden in ein Koordinatensystem fällt auf, dass die Geraden keinen Schnittpunkt besitzen. Das Gleichungssystem hat somit auch keine Lösung, die wir ablesen bzw. ausrechnen könnten.
Geraden schneiden sich immer dann nicht, wenn sie dieselbe Steigung, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt besitzen. Die Geraden sind dann Parallelen.
Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen
Gleichungssysteme können auch unendlich viele Lösungen besitzen. Das bedeutet, dass die Gleichungen im Gleichungssystem identisch sind. Dies ist oft nicht direkt erkennbar, da die Gleichungen nicht in der Normalform stehen.
Beispiel
$I: \textcolor{blue}{3 \cdot x= -3 + y}$
$II:\textcolor{red}{y= 3\cdot x + 3}$
Stellen wir die erste Gleichung nach $y$ um, erhalten wir zwei identische Gleichungen:
$I: \textcolor{blue}{y= 3\cdot x + 3}$
$II:\textcolor{red}{y= 3\cdot x + 3}$
Auch in diesem Fall könnten wir die Gleichungen zeichnen, jedoch liegen sie genau aufeinander. Gleichungssysteme besitzen also unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden identisch sind.
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$I: - 9 + y = 14 \cdot x$
$II: 9= -y -14 \cdot x$
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