Auf dieser Lernseite beschäftigen wir uns mit der Frage, wie Potenzen einer Summe weiter zusammengefasst werden können.
Gibt es Rechenregeln zur Addition von Potenzen?
Die Summe zweier normaler Potenzen, wie sie im unteren Beispiel angegeben sind, lässt sich nicht weiter vereinfachen. Wir können das Ergebnis berechnen, indem wir die einzelnen Potenzen auflösen und dann addieren.
Beispiel
$2^3 + 4^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) + (4 \cdot 4) = 8 + 16 = 24$
Die Summe der Potenzen kann nicht weiter zusammengefasst werden. Um das Ergebnis zu berechnen, rechnen wir die einzelnen Potenzen aus und addieren dann die Potenzwerte.
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Addition von Potenzen
Die Summe von Potenzen lässt sich nur unter folgenden Voraussetzungen zusammenfassen:
- Die Basen der Potenzen sind gleich.
- Die Exponenten der Potenzen sind gleich.
Sind diese beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, kannst du die Summe vereinfachen, indem du die Koeffizienten der Potenzen addierst. Als Koeffizient bezeichnet man die Zahl, die als Faktor vor der Potenz steht.
Merke
Die Summe zweier Potenzen kann zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten addiert werden.
$\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{x^n} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{x^n} = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{x^n}$
Beispiele für die Addition von Potenzen
Beispiel
$4 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^3 = (4 + 7) \cdot 2^3 = 11 \cdot 2^3 = 88$
$5 \cdot x^3 + 2 \cdot x^3 = (5 + 2) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3$
$6 \cdot x^4 + 4 \cdot x^4 = (6 + 4) \cdot x^4 = 10 \cdot x^4$
$3 \cdot x^6 + 5 \cdot x^6 = (3 + 5) \cdot x^6 = 8 \cdot x^6$
Im folgenden Beispiel taucht eine Potenz auf, die auf den ersten Blick keinen Koeffizienten besitzt. Steht vor der Potenz kein Koeffizient, ist der Koeffizient immer die Zahl $1$.
$ x^7 + x^7 = 1\cdot x^7 + 1\cdot x^7 = (1 + 1) \cdot x^7 = 2 \cdot x^7$
$3 \cdot x^3 + x^3 = 3\cdot x^3 + 1\cdot x^3 = (3 + 1) \cdot x^3 = 4 \cdot x^3$
$2 \cdot x^5 + 4 \cdot x^5 + x^5 = 2 \cdot x^5 + 4 \cdot x^5 + 1 \cdot x^5$
$= (2 + 4 + 1) \cdot x^5 = 7 \cdot x^5$
Wann lassen sich Summen von Potenzen nicht zusammenfassen?
1. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten
$4^\textcolor{red}{5} + 4^\textcolor{red}{6}$
$a^\textcolor{red}{m} + a^\textcolor{red}{n} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$
2. Potenzen mit unterschiedlichen Basen
$\textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{red}{3}^2$
$\textcolor{red}{a}^n + \textcolor{red}{b}^n ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$
3. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und unterschiedlichen Basen
$\textcolor{red}{3}^\textcolor{orange}{4} + \textcolor{red}{9}^\textcolor{orange}{3}$
$\textcolor{red}{a}^\textcolor{orange}{n} + \textcolor{red}{b}^\textcolor{orange}{m} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MÖGLICH}}$
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