In diesem Lerntext erklären wir dir die Vorgehensweise zur Berechnung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion. Diese Vorgehensweise zeigen wir dir anhand mehrerer Beispiele.
Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen
Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion lässt sich mithilfe weniger Schritte aufstellen. Nachfolgend siehst du die Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion:
Methode
1. Funktion nach $x$ auflösen.
2. $x$ und $f(x)$ vertauschen.
Wenden wir diese beiden Schritte einmal auf ein Beispiel an:
1. Funktion nach $x$ auflösen
$f(x) = 2 \cdot x +1~~~~~~|-1$
$f(x) - 1 = 2 \cdot x~~~~~| :2$
$\frac{f(x)}{2} - 0,5 = x$
2. $x$ und $f(x)$ vertauschen
$0,5 \cdot f(x) - 0,5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$
$f(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$
Gut zu wissen
Um deutlich zu machen, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt, schreibt man anstatt $f(x)$ auch $f^{-1}(x)$.
$\rightarrow f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5$
Schauen wir uns einige weitere Beispiele an, um das Vorgehen besser zu verstehen.
Beispiel
$f(x) = 5 \cdot x +10$
$f(x) = 5\cdot x + 10~~~~~|-10$
$f(x) - 10 = 5 \cdot x~~~~~|:5$
$\frac{f(x)}{5} - 2 = x$
$\frac{1}{5} \cdot f(x) - 2 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$
$\frac{1}{5} \cdot x - 2 = f(x)$
$\rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{5} \cdot x - 2$
Beispiel
$f(x) = 12 \cdot x +30$
$f(x) = 12 \cdot x + 30~~~~~|-30$
$f(x) - 30 = 12 \cdot x~~~~~|:12$
$\frac{f(x)}{12} - 2,5 = x$
$\frac{1}{12} \cdot f(x) - 2,5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$
$\frac{1}{12} \cdot x - 2,5 = f(x)$
$\rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{12} \cdot x - 2,5$
Beispiel
$f(x) = x - 15$
$f(x) = x - 15~~~~~|+15$
$f(x) + 15 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$
$x +15 = f(x)$
$\rightarrow f^{-1}(x) = x + 15$
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Grafische Bedeutung der Umkehrfunktion
Das grafische Eintragen der Umkehrfunktion funktioniert genauso, wie bei der normalen Funktion. In der Abbildung siehst du die Ausgangsfunktion $\textcolor{green}{f(x) = 2 \cdot x +1}$ in Grün und ihre entsprechende Umkehrfunktion $\textcolor{red}{f^{-1}(x) = 0,5 \cdot x - 0,5}$ in Rot. Zusätzlich zu diesen beiden Funktionen ist auch noch die Winkelhalbierende ($f(x) = x$) eingezeichnet.
Zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion besteht ein grafischer Zusammenhang: Spiegelt man alle Punkte der Ausgangsfunktion $f(x)$ an der Winkelhalbierenden, erhält man die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$.
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