In diesem Text werden dir die Möglichkeiten zur Berechnung von mathematischen Verhältnissen gezeigt. In der Regel vergleicht man dabei zwei Werte miteinander und versucht diese dann in eine Beziehung zu setzen. Mehr dazu findest du im nachfolgenden Text.
Was sind Verhältnisse?
Verhältnisse werden dir in der Mathematik, aber auch im Alltag begegnen, etwa wenn du einen Kuchen backst oder bei Miniaturautos. Doch was genau bedeutet eigentlich Verhältnis?
Wenn du beispielsweise ein Pfannkuchen Rezept weitergibst, ohne zu wissen, welche Menge später gebacken wird, kannst du die Zutaten in eine Verhältnisangabe setzen. Dabei wird etwa gesagt:
$Auf \; \textcolor{green}{200} \; Gramm \; Mehl \; kommen \; \textcolor{blue}{50} \; Milliliter \; Milch.$
Hierbei wird ein Verhältnis zwischen dem Mehl und der Milch hergestellt. Diese Verhältnisse treten meistens in einem Text auf und man erkennt sie nicht direkt. Hierfür gibt es ein paar Schlüsselwörter, auf die du achten solltest:
Merke
Schlüsselwörter, die Verhältnisse angeben:
...das Verhältnis zwischen... und ... ist ...
...auf XYZ kommen ABC ...
Diese Verhältnisse können aber auch in Brüchen vorkommen. Man könnte sagen, dass das Verhältnis zwischen Mehl und Milch $\frac{4}{1}$ ist, oder auch $4 \;$ Teile zu $\; 1$ Teil. Hierbei haben wir die Werte $200$ und $50$ soweit gekürzt, dass wir einen kleinen Bruch erhalten, also:
$\frac{200}{50} \rightarrow \frac{20}{5} \rightarrow \frac{4}{1}$
Eine andere Schreibweise für ein Verhältnis ist die Trennung der Werte durch einen Doppelpunkt. In unserem Beispiel wäre das $4:1$.
Merke
Es gibt verschiedene Schreibweisen, um ein Verhältnis zwischen zwei oder mehr Werten anzugeben. Du kannst:
...einen Bruch schreiben: $\frac {4}{1}$
...mit Doppelpunkt trennen: $4:1$
...mit einem Querstrich trennen: $4/1$
...oder mit dem Wort zu verbinden: $ 4 \; zu \; 1$
Es muss aber nicht immer nur ums Backen gehen. Wir können auch Verhältnisse von Werten bilden, die eigentlich in keinem direkten Zusammenhang stehen, so wie in folgendem Beispiel:
Beispiel
Aufgabe: In einer Schulklasse sind 25 Schüler. Davon sind 15 Schüler männlich und 10 Schüler weiblich. Bilde ein Verhältnis.
In dieser Aufgabe haben wir alle wichtigen Informationen fett markiert. Wie du genau vorgehst, erklären wir dir im nächsten Schritt:
Schritt 1: Zuerst solltest du die Werte, die du gegeben hast, herausschreiben. In diesem Fall wären das die 15 Jungen, die 10 Mädchen und die 25 Schüler als Gesamtwert.
Schritt 2: Jetzt solltest du schauen, wie du das Verhältnis angibst. Hierbei ist es wichtig, dass der größere Wert immer im Zähler steht, also oberhalb des Bruchstrichs und der kleinere Wert im Nenner, also unterhalb des Bruchstrichs.
$\frac{15 \; Jungen}{10 \; Mädchen}$.
Diesen Bruch kürzen wir noch:
$\frac{3\;Jungen}{2\;Mädchen}$.
Schritt 3: Herausschreiben der Lösung. Hierbei schreibst du die Lösung in einer der möglichen Schreibweisen in einem Antwortsatz auf.
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Verhältnisse berechnen
Du kannst Verhältnisse nicht nur bilden, sondern auch berechnen. Hierbei gibt es zwei verschiedene Methoden.
Verhältnisse skalieren
Verhältnisse skalieren, bedeutet so viel wie Verhältnisse anpassen. Wenn du etwa das Verhältnis $3:1$ hast und gesagt wird, dass die 4-fache Menge benötigt wird, dann gehst du wie beim Erweitern von Brüchen vor. Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl:
$\Large{ \frac{3}{1} \rightarrow \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 4} \rightarrow \frac {12}{4}}$.
Das Verhältnis wird also um 4 erweitert und es ergibt sich ein neues Verhältnis von $\frac{12}{4}$.
Verhältnisse ermitteln
Es kann auch vorkommen, dass ein bekanntes Verhältnis um einen unbestimmten Wert erweitert werden soll. Schauen wir uns noch mal die Aufgabe mit den Schülern an:
Beispiel
Aufgabe: In einer Schulklasse sind 25 Schüler. Davon sind 15 Schüler männlich und 10 Schüler weiblich.
a) Passe das Verhältnis so an, dass genau 5 Schüler weniger die Klasse besuchen, für den Fall, dass die Schulklasse aus 20 Schülern besteht.
b) Ändere die Werte so, dass du nur noch 6 Mädchen in der Klasse hast. Wie viele Jungen und wie viele Schüler sind dann insgesamt in der Klasse?
Zu Teilaufgabe a)
Das Verhältnis war ja oben schon errechnet worden und es war $\Large{\frac{3}{2}}$. Du hast also mindestens 3 Jungen und 2 Mädchen in einer Klasse. Jetzt musst du selbstständig einen Wert finden, mit dem du den Bruch malnimmst, damit du insgesamt 20 Schüler in der Klasse hast. Also rechnest du in diesem Fall die beiden Terme $vier$. Das ergibt:
$\Large {\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} \rightarrow \frac{12}{8}}$.
Somit ist die Lösung für die Teilaufgabe a), dass 12 Jungen und 8 Mädchen in der Klasse sind.
Zu Teilaufgabe b)
Hier musst du schauen, mit welchem Wert du die $2\;$ im Verhältnis mal rechnest, damit du auf 6 kommst. Es ist $3$. Jetzt erweitern wir den Bruch und bekommen die Lösung:
$\Large{\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} \rightarrow \frac{9}{6}}$
Die Lösung ist also $9\; Jungen \;:\; 6\; Mädchen$.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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