Strahlensätze - Aufgaben mit Lösungen

Aufgabenstellung: Ein großer Baum soll gefällt werden. Dieser steht ca. 8 Meter von einem Haus entfernt. Die Frage ist nun, ob der Baum das Haus treffen könnte, wenn er umfällt. Als Hilfsmittel nutzen wir ein 30 cm langes Lineal, das wir in einem Abstand von 20 cm vor unser Auge halten. Ferner wissen wir, dass die Entfernung vom Auge zur Wurzel des Baumes ca. 8 Meter beträgt. Du kannst nun berechnen, ob der Baum beim Fallen das Haus beschädigen kann.

Herangehensweise:

Wir machen eine Skizze und überlegen, welche Größe gesucht und welche Größen gegeben sind. Wir stehen vor einem Baum, dessen Höhe wir ermitteln sollen. Somit ist die Strecke zwischen Punkt E und Punkt F gesucht.

Wir wissen, dass wir das Lineal genau 20 cm von uns entfernt in der Hand halten. Weiter wissen wir, dass das Lineal genau 30 cm lang ist. Und wir kennen auch den Abstand vom Auge zur Baumwurzel, der ca. 8 Meter beträgt. In einer Skizze zusammengetragen, ergibt sich folgendes Bild:

Wir erkennen, dass wir den zweiten Strahlensatz zur Berechnung der unbekannten Länge benutzen müssen. Wir stellen den zweiten Strahlensatz wie folgt auf:

$\large{\frac{b}{b'} = \frac{l}{x}}$

Wir setzen die bekannten Werte ein. Daraus ergibt sich:

$\large{\frac{b}{8~m} = \frac{30~cm}{x}}$

Um die Länge der Seite $x$ berechnen zu können, fehlt uns nun leider noch die Länge der Seite $b$. Wir gucken nun nochmals genau auf die Skizze und stellen fest, dass wir die Länge der Seite $b$ mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen können. Die Seite $b$ ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Es gilt:

$\large{b^2 = e^2 + (\frac{1}{2}\cdot l)^2}$

Wir setzen nun die Werte, die wir kennen, ein und erhalten dann:

$\large{b^2 = 20^2 + 15^2}$

$\large{b^2 = 625}$

$\large{b_1 = 25}$   und   $\large{b_2 = -25}$

Das negative Ergebnis macht hier keinen Sinn, da eine Länge keinen negativen Wert annehmen kann. Wir können $b=-25$ demnach ausschließen. Die Länge der Strecke $b$ beträgt also $25$ Meter. Diesen Wert setzen wir nun in die Strahlensatz-Formel ein. Wir erhalten:

$\Large{\frac{25 ~cm}{800~ cm} = \frac{30 ~cm}{x}}$

Auf der linken Seite der Gleichung können wir die $cm$ kürzen. Nun bilden wir das Kreuzprodukt, um die Brüche aufzulösen. Wir erhalten:

$ 25 \cdot x = 800 \cdot 30~cm$

Mithilfe einer einfachen Äquivalenzumformung können wir $x$ nun berechnen und erhalten dann:

$ x = 960~cm$

Die Höhe des Baumes beträgt ca. $9,6$ Meter. Es besteht daher die Gefahr, dass der Baum im Fall das Haus trifft.