Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel

Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes

Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst noch einmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.

$ Potenz: a^n = x            Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$

Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:

In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, das heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.

Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:

$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$

Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$

Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:

$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz.