Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten

Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes

Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $      

Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:

Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich  $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$

Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$

Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:

$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$

Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:

$\frac{x}{y} =  a^{m-n}      \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$

Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n      \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel. 

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun an unseren Aufgaben testen. Viel Erfolg dabei!