Wie wende ich die Kettenregel an?

Ableitung mit der Kettenregel: Anwendung

Die Kettenregel ist eine wichtige Regel, mit deren Hilfe du komplexe $_"$verkettete$"$ Funktionen ableiten kannst. Die Kettenregel tritt vor allem in Kombination mit anderen Regeln, etwa der Faktorregel oder der Summenregel, auf. Ein Beispiel für die Anwendung der Kettenregel ist diese Funktion:

$\large{f(x)= (x^2)^3}$

Wir wollen die Kettenregel demonstrieren, daher rechnen wir die Exponenten nicht zusammen. Zunächst müssen wir die beiden Funktionsteile u(x) und v(x) definieren, denn die Kettenregel besagt, dass:

$f(x) = \textcolor{green}{u(}\textcolor{blue}{v(x)}\textcolor{green}{)}$

Bei unserem Beispiel ist der Funktionsteil $\textcolor{blue}{x^2}$ der Teil $\textcolor{blue}{v(x)}$ und der Funktionsteil $\textcolor{green}{()^3}$ der Teil $\textcolor{green}{u(x)}$, also:

$f(x) = \textcolor{green}{(}\textcolor{blue}{x^2}\textcolor{green}{)^3}$

Nun gucken wir uns nochmal die Ableitungsformel $f'(x)= \textcolor{green}{u'(}\textcolor{blue}{v(x)\textcolor{green}{)} \cdot v'(x)}$ an. Wir müssen also zunächst die Ableitungen der einzelnen Funktionsteile berechnen und diese dann zur Ableitungsfunktion zusammenfügen.

Wir bilden also die Ableitungen der einzelnen Funktionsteile:

• $\textcolor{blue}{v'(x)= 2x}$, v(x) wird auch als innere Funktion bezeichnet.
• $\textcolor{green}{u'(x)= 3 \cdot ()^2}$, u(x) wird auch als äußere Funktion bezeichnet.

Nach dem Zusammenfügen erhalten wir:

$f'(x)= 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2x$

Diesen Term können wir noch vereinfachen und erhalten dann:

$f'(x)= 6 \cdot x^5$

Im Übrigen hätten wir die Funktion auch erst zusammenfassen können und dann mit Hilfe der Potenzregel ableiten können. Also:

${f(x)= (x^2)^3}~~~\rightarrow~~~{f(x)= x^6}$

${f'(x)= 6 \cdot x^5}$

Kettenregel: Beispiel

Eine weitere Beispielaufgabe für die Kettenregel, in Verbindung mit der Summenregel, ist die Funktion:

$g(x)= \textcolor{green}{(} \textcolor{blue}{3x-2} \textcolor{green}{)^8}$

Die Ableitung der äußeren Funktion ist: $\textcolor{green}{u'(x)=8 \cdot ()^7}$

Die Ableitung der inneren Funktion ist: $\textcolor{blue}{v'(x)= 3}$

Zusammengefügt nach der Kettenregel ergibt dies die Ableitung der Funktion:

$g'(x)= \textcolor{green}{8 \cdot (}\textcolor{blue}{3x-2}\textcolor{green}{)^7} \cdot 3$

Vereinfachen wir diesen Term, erhalten wir: $g'(x)= 24 \cdot (3x-2)^7$

Zur Vertiefung des Themas schau auch noch einmal in die Übungen zu Kettenregeln.