Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung

1. Definitionsmenge

Die Definitionsmenge der obigen Aufgabe zur Kurvendiskussion besteht aus allen Zahlen, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen.

$f(x) = x^2-3x+2$

Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden. $\rightarrow D_f= \mathbb{R} $

Der Definitionsbereich besteht aus reellen Zahlen.

2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

1. Nullstellen 

Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen.

$f(x) = 0$

$f(x)=x^{2}-3x+2=0$

Anschließend verwenden wir die p-q-Formel, um die Nullstellen zu berechnen:

$p=-3$ und $q=2$

$x_{1/2} = \frac{- p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2- q}$

$= -\frac{- 3}{2}\pm \sqrt{(\frac{- 3}{2})^2- 2}$

$= +\frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{2}{1}}$

$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{8}{4}}$

$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$= \frac{ 3}{2}\pm \frac{1}{2}$

$x_{1} = \frac{ 3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{ 3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_1 = 2~~~~\wedge~~~~x_2 = 1$   

Die Funktion schneidet die x-Achse in den Punkten $N_1(1/0)$ und $N_2(2/0)$.

2. Schnittpunkte mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, müssen wir $x=0$ einsetzen.

$x=0$

$f(0)=0^{2}-3\cdot 0+2=2$

Die Funktion schneidet die y-Achse in dem Punkt $S_y(0/2)$.

3. Symmetrieverhalten

Der folgende Schritt in unserem Beispiel behandelt in der Kurvendiskussion die Symmetrie von Funktionen. Die Symmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion lässt sich ohne großen Rechenaufwand bestimmen.

Achsensymmetrisch:

Wir untersuchen die Achsensymmetrie. Wir prüfen also, ob $f(-x)$ = $f(x)$ für jede reelle Zahl $x$ gilt.

$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot (-x) + 2 = x^2\textcolor{red}{+3x} +2$

$f(x) = x^2\textcolor{red}{-3x}+2$

Also müsste gelten: $ \textcolor{red}{3x = -3x} $. Das ist aber nur für $x$ = 0 der Fall. Die Funktion ist also nicht achsensymmetrisch.

Punktsymmetrisch:

Wir untersuchen die Punktsymmetrie. Wir prüfen also, ob $f(-x)$ = $- f(x)$ für jede reelle Zahl $x$ gilt.

$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot (-x)+2 = \textcolor{red}{x^2} +3x \textcolor{red}{+2} $

$- f(x)$ = $ -(x^2-3x+2)$ = $ \textcolor{red}{-x^2} + 3x \textcolor{red}{-2} $

4. Verhalten im Unendlichen

Je größer $x$ wird, desto größer werden die Funktionswerte $y$, die gegen Unendlich laufen.

$\lim_{n \to \infty}x^2-3x+2=\infty $

Werden die $x$-Werte immer kleiner, so gehen die Funktionswerte ebenfalls gegen Unendlich. Das Funktionsbild ist eine nach oben offene Parabel.

$\lim_{n \to -\infty}x^2-3x+2=\infty $

5. Monotonie und Extremwerte

Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen.

$f(x) = x^2-3x+2$

$f'(x) = 2x-3$

$f'(x) = 0$
$0 = 2x-3~~~~~|+3$
$3= 2x~~~~~~|:2$
$1,5 = x$

An dem x-Wert $1,5$ befindet sich ein Extrempunkt. Um zu bestimmen, ob dies ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, muss die zweite Ableitung gebildet werden:

$f'(x) = 2x-3$

$f''(x) = 2 $

Nun muss der x-Wert eingesetzt werden.

Da x in der 2. Ableitung nicht auftritt, entfällt hier in unserem Beispiel das Einsetzen des x-Wertes.