Potenzfunktionen zeichnen

• Potenzfunktionen zeichnen - Vorgehensweise
• Wertetabelle erstellen

Potenzfunktionen sind ein wichtiges Thema der Mathematik. Sie sind zu Anfang noch einfach und werden mit der Zeit immer komplexer. Dennoch wird erwartet, dass du auch komplexe Potenzfunktionen zeichnen bzw. mindestens skizzieren kannst. Doch wie soll man die Funktion $f(x)=5 \cdot (x-1)^8 +7 $ zeichnen?

Potenzfunktionen zeichnen - Vorgehensweise

Um die Funktion zu zeichnen brauchen wir Kenntnisse von den verschiedenen Potenzfunktionen und ihren jeweiligen Graphen. Mit diesem Wissen im Hinterkopf gucken wir uns einfach den größten Exponenten der Funktion an und können dann entscheiden, wie der Grundverlauf des Funktionsgraphen aussieht. 

Der größte Exponent ist hier 8. Die Grundform ist eine Potenzfunktion vom Grad 8. Das Bild ist daher eine Parabel, da die Grundform eine Potenzfunktion mit geradem positivem Exponenten ist.

Der nächste Schritt ist das Herausfinden des Streckfaktors der Funktion. Ob dieser positiv oder negativ ist, hat einen großen Einfluss auf den Verlauf der Parabel. Unsere Funktion besitzt den Streckfaktor $5$. Die Parabel ist also nach oben geöffnet und stark gestreckt.

Nachdem nun Art und Verlauf der Funktion bestimmt wurden, wird nun die Verschiebung entlang der Koordinatenachsen ermittelt. Diese ist in unserer Funktion $f(x)=5 \cdot (x \textcolor{green}{-1})^8 \textcolor{blue}{+7} $ durch die markierten Zahlen gegeben. Diese zeigen uns, dass der Funktionsgraph um $1$ nach rechts und um $7$ nach oben verschoben wird, ausgehend vom Ursprung. 

Fassen wir alle Informationen zusammen, erhalten wir:

Die Funktion $f(x)= \textcolor{red}{5} \cdot (x \textcolor{green}{-1})^\textcolor{orange}{8} \textcolor{blue}{+7} $ ist

     $\textcolor{red}{nach\; oben\; geöffnet}$

     $\textcolor{red}{um\; 5\; gestreckt}$

     $\textcolor{orange}{bildet \; eine \; Parabel}$

     $\textcolor{green}{um \;1 \;nach \;rechts \;verschoben}$

     $\textcolor{blue}{um\; 7\; nach \;oben\; verschoben}$

Wir setzen also bei P₁(1|7) unseren ersten Punkt, da wir wissen, dass der Graph eine verschobene Parabel ist, die dort ihren Scheitelpunkt hat. Der nächste Punkt wäre bei einer Streckung von $1$ bei P₂(2|8). Da der Streckfaktor aber $5$ ist, muss der y-Wert um $5$ nach oben verschoben werden und somit liegt der zweite Punkt bei P₂(2|12).

Aus der Achsensymmetrie der Funktion x⁸ folgt, dass der dritte Punkt bei P₃(0|12) liegt. Nun haben wir drei Punkte, mit deren Hilfe wir den Graphen skizzieren können, siehe Abbildung oben. Der Graph der Funktion ist recht steil, was an dem relativ großen Exponenten $8$ liegt. Es gilt: Je größer der Exponent der Funktion, desto steiler ist der Funktionsgraph.