Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode

Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$

Die reelle Zahl $\textcolor{orange}{a}$, die in dieser Funktion als Streckungsfaktor auftritt, wirkt sich auf verschiedene Weisen auf den Verlauf der Funktion $y$=$cos(bx)$ aus. Der Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$ streckt, staucht oder spiegelt. Wie sich dieser Faktor auswirkt, zeigen wir dir in der folgenden Abbildung.

Bei der blau gezeichneten Funktion $g(x)=3 cos⁡ x$ ist $a=3$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestreckt.<br/>Bei der rot gezeichneten Funktion $h(x)=0,7 cos ⁡x$ ist $a=0,7$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestaucht.<br/>Bei der lila gezeichneten Funktion $i(x)= -2 cos ⁡x$ ist $a= -2$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion $f(x)=cos⁡ x$ zusätzlich gespiegelt.

Die Veränderung des Streckungsfaktors verändert zugleich den Wertebereich der Funktion.

Periode $\textcolor{green}{p}$ der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion verläuft, wie die Sinusfunktion, periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode wird der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Bei der Veränderung des Faktors $\textcolor{green}{b}$ verändert sich auch die Periodenlänge der Funktion. Sie verkleinert sich bei einem Faktor zwischen $-1$ und $1$ und vergrößert sich bei Werten größer $1$ und kleiner $-1$. Hierbei ist das Vorzeichen vor dem Faktor jedoch egal, es gibt keinen Unterschied zwischen negativen und positiven Faktoren.

Die kleinste Periode berechnet man mit der Formel $p = | \frac{2 \pi}{b} | $

Als allgemeine Gleichung einer Kosinusfunktion wird oft $f(x)$=$a$ · $cos (bx + c) + d$ bezeichnet.

Reelle Zahlen $a, b, c$ und $d$ haben folgende Effekte:

• $a$ streckt entlang der $y$-Achse
• $b$ beeinflusst die Periode
• $c$ verschiebt entlang der $x$-Achse
• $d$ verschiebt entlang der $y$-Achse

Ruhelage der Kosinusfunktion

Ein weiterer Fachbegriff bei Kosinusfunktionen ist die Ruhelage. Diese bildet den Mittelwert zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt. Sie wird als Gerade dargestellt. Bei keiner Verschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse entspricht die x-Achse der Ruhelage. 

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