Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden

• Herleitung der Summenregel
• Anwendung der Summenregel: Beispiel

Für dieses Kapitel ist die Potenzregel, also das einfache Ableiten, eine Grundvoraussetzung. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, ob du die Potenzregel kennst und anwenden kannst, schau noch einmal auf unserer Seite über die Potenzregel nach.

Die Summenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln. Denn häufig treffen wir auf komplexe Funktionen mit mehreren Summanden, wie etwa $f(x)=2x^3+4x^2+2$. Wir widmen uns nun zunächst der etwas theoretischen Herleitung der Summenregel und dann der eigentlich relativ einfachen Anwendung der Summenregel.

Herleitung der Summenregel

Wir nutzen die allgemeine Ableitungsregel, mehr dazu im Kapitel Potenzregel:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Wir haben aber nicht nur $f(x)$ gegeben, sondern unsere Funktion besteht aus zwei Teilen, die wir $g(x)$ und $k(x)$ nennen. Das heißt, unsere Funktion $f(x)$ ist die Summe aus $g(x)$ und $k(x)$. Das bedeutet:

$f(x)= g(x)+k(x)$

Wir ersetzen also auch in der Ableitungsformel jedes $f(x)$ durch den Ausdruck $g(x)+k(x)$ und erhalten somit:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{(\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)})-(\textcolor{blue}{g(x)+k(x)})}{h}}$   bzw.

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)}-\textcolor{blue}{g(x)-k(x)}}{h}}$

Wenn wir jetzt die $g(x)$-Funktionen auf die eine und die $k(x)$-Funktionen auf die andere Seite schreiben, sieht es übersichtlicher aus und wir erhalten:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)-g(x)}+\textcolor{blue}{k(x+h)-k(x)}}{h}}$

Wir erkennen, dass der Ausdruck nun sehr ähnlich der Ausgangsfunktion ist. Wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und die Funktionsteile auf zwei Brüche schreiben, fällt uns auf, dass die Funktionsteile einzeln abgeleitet werden können:

$\underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{green}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}_{=g'(x)} + \underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{k(x+h)-k(x)}{h}}}}_{=k'(x)}$

Die Funktionen können einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Die Ableitung nach der Summenregel ist also nichts anderes als die Ableitung der einzelnen Summanden nach der Potenzregel.