Funktionen sind ein wichtiger Bestandteil der Mathematik. In diesem Lerntext erhältst du eine grundlegende Definition und Erklärungen zum Thema Funktionen.
Definition einer mathematischen Funktion
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen. Meist werden die Elemente dieser Mengen $x$ und $y$ genannt. Diese Mengen heißen Definitionsbereich (Definitionsmenge) und Wertebereich (Wertemenge). Der Definitionsbereich wird durch die x-Werte (Argumente) gebildet, der Wertebereich durch die zugeordneten y-Werte. Diese y-Werte nennt man auch Funktionswerte oder Ordinaten. Die Funktion kann durch eine Gleichung beschrieben und als Funktionsgraph in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
Mathematisch ausgedrückt geht es um folgenden Zusammenhang:
Merke
Zwei Variablen stehen in einer Beziehung zueinander.
Dabei ist $x$ die unabhängige Variable mit der man $y$ berechnet. Deshalb nennt man $y$ auch abhängige Variable. Die Menge aller $x$ nennt man Definitionsbereich oder Definitionsmenge und schreibt dafür $ \mathbb{D}_f $.
Die über die Funktionsvorschrift $f$ berechnete Menge aller $y$ heißt Wertebereich oder Wertemenge und wird mit $ \ \mathbb W_f$ bezeichnet. Man nennt $x$ und $y$ auch Elemente ihrer jeweiligen Menge.
Dabei gilt: Wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet, dann nennt man diese Beziehung eine Funktion. Die Funktion ist damit immer eindeutig. Ist jedem y-Wert dann auch genau ein x-Wert zugeordnet, dann nennt man die Funktion eineindeutig.
Für den mit $x$ berechneten Funktionswert $y$ schreibt man auch $f(x)$.
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Wertetabelle
Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, kann eine Wertetabelle erstellt werden. Die Punkte $P(x \mid y)$ können dann in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel einer Wertetabelle für $y = f(x) = x^2$:
| x | -2 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 0 | 1 | 4 |
Diese Funktion ist nicht eineindeutig, da es zum Beispiel für den y-Wert $4$ zwei x-Werte gibt, nämlich $2$ und $-2$.
Methode
In einer Wertetabelle werden ausgewählten x-Werten durch eine Funktionsvorschrift ihre y-Werte zugeordnet.
So wird ein Punkt angegeben:
$P (x-Wert \mid y-Wert)$
Was ist ein Koordinatensystem?
Die Punkte werden dann in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Das Koordinatensystem besteht aus zwei rechtwinklig angeordneten Zahlengeraden, die sich jeweils bei Null schneiden. Diese Zahlengeraden werden mit $x$ und $y$ bezeichnet. Der Punkt P hat eine x-Koordinate durch eine y-Koordinate.
Abbildung: Koordinatensystem
Wir sehen, dass an der x-Achse und an der y-Achse Pfeile sind. Das deutet darauf hin, dass die Zeichnung fortgesetzt werden kann. Wenn wir Funktionsgraphen zeichnen, betrachten wir nur einen Abschnitt.
Um einen Punkt einzuzeichnen, geht man wie folgt vor: Betrachten wir als Beispiel den Punkt $P(2/6)$. Zunächst suchen wir die $2$ auf der x-Achse und ziehen gedanklich eine Linie nach oben. Dann suchen wir die $6$ auf der y-Achse und ziehen eine gedankliche Linie nach rechts. Da wo sich die beiden "Gedankenlinien" treffen, setzen wir den Punkt.
In der Regel sind diese Punkte zu verbinden, und wir erhalten einen Teil des Funktionsgraphen.
Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift und Funktionsterm
Funktionen können verschieden notiert werden. Dabei bedeuten verschiedene Schreibweisen oft das Gleiche. Die in der Schule am häufigsten verwendete Schreibweise ist die der Funktionsgleichung. Es gibt jedoch auch eine Zuordnungsvorschrift und einen Funktionsterm, die das Gleiche bedeuten:
- Funktionsgleichung
$f(x) = x^2 +3$ - Zuordnungsvorschrift
$x\rightarrow x^2+3$ - Funktionsterm
$x^2+3$
Dabei ist $x$ eine beliebige reelle Zahl: $x \in \mathbb{R}$. Das ist der größtmögliche Definitionsbereich für diese Funktion.
Nun hast du die Grundlagen zum Thema Funktionen kennengelernt. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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